Presupunem ca azi e 28. Poate e ziua voastra de nastere sau numarul vostru norocos (de jucat la loto)
Proprietatile numarului 28.
Este un numar PERFECT, pentru ca este egal cu suma divizorilor sai: 1+2+4+7+14 (fara el insusi). Precedentul numar perfect este 6, urmatorul 496.
Este suma PRIMElor 5 numere PRIME (sesizati jocul de cuvinte-mnemoschema verbala) 2+3+5+7+11.
Este al 7-lea numar triunghiular:
Este numar FERICIT: 2*2+8*8=68 6*6+8*8=100 1*1+0*0+0*0=1
Este numar din TRIUNGHIUL LUI PASCAL:
Numarul, cifra 9
Criteriul de divizibilitate afirma ca un numar este divizibil cu 9 daca si numai daca suma cifrelor este divizibila cu 9
Patratul lui 3, deci 9 e un PP (patrat perfect)
Apare in tripleta 9, 12, 15 la teorema lui Pitagora, de fapt un triunghi asemenea cu celebrul 3, 4, 5 (marit de 3 ori) si mai interesant in 9, 40, 41. Verificam ultimul triplet cu (40+1)*(40+1)=40*40 +2*40+1=40*40+ 81.
9 poseda o proprietate matematica „piramidala”
1*9+2=11
12*9+3=111
123*9+4=1111
1234*9+5=11111
…………………………..
Numarul 10 are mnemoschema „taxi”
Este un numar semiprim, adica produsul a doua numere prime (nu numaidecat distincte). Precedentul numar semiprim a fost 9=3*3. Care va fi succesorul, adica urmatorul numar semiprim?
Este baza sistemului de numeratie zecimal- pozitional, adica 10 unitati de un anumit ordin formeaza o unitate de ordin superior.
Este un numar defectiv, adica suma divizorilor sai (in afara de el insusi) este 8<10. Aceasta este o deficienta cand alegem baza sistemului de numeratie folosit. 12 este un numar abundent, suma divizorilor sai (in afara de el insusi) este 16>12, de aceea unele tari anglofone prefera folosirea „duzinei” in probleme practice, de masurare.
In comparatie cu baza 2 (binar) folosita de calculatoare, baza 10 este de asemenea deficienta avand o tabla a inmultirii si o tabla a adunarii greoaie, dovada copiii o invata in 1-3 ani. Cele doua table in binar: 1+0=1; 1+1=10; 1*0=0; 1*1=1. Totusi aceasta deficienta este compensata de numerele mai scurte (ca numar de cifre folosite).
10 in binar se scrie 1010. (mnemoschema utila ca reper la numararea in binar 1, 10, 11, 100, etc)
Evident este un numar decagonal.
Criteriul de divizibilitate cu 10: un numar este divizibil cu 10 daca si numai daca ultima cifra (a unitatilor este 0).
2 prefixe importante: DECA (greaca, franceza) = *10, DECI (latina, franceza)= /(impartit)10
10 este un numar FERICIT (verificati!)
Teormal lui Pitagora se aplica tripletelor 6, 8 ,10 (numarul nostru este ipotenuza) respectiv 10, 24, 26. (numarul nostru este cateta). Verificati sau prin asemanare cu triunghiul 3, 4, 5 respectiv 5,12, 13. (triunghiuri dreptunghice fundamentale)
10 este suma PRIMElor 3 numere PRIME (mnemoschema verbala)
21 + 23 = 10
30 + 32 = 10 Suma puterilor cu baza 2 si primii 2 exponenti impari, respectiv primii 2 exponenti pari.
Cifra 8
Cub perfect
Azi 11 ale lunii
Vezi video Criteriul de divizibilitate cu 11
Numar prim (al cate-lea ?)
Numar PALINDROM adica se citeste la fel si de la dreapta la stanga, aplicatii in programare. Mai mult
112 = 121
113 = 1331 sunt palindroame
Este numar din Sirul lui Ulam plecand, de la primii doi termeni 1 si 2 si alegand urmatorii termeni, doar pe aceia care se pot obtine prin adunare in mod exact unic de doi termeni precedenti distincti. Astfel avem 3 (=1+2), 4 (= 1+3), 5 nu este admis (=2+3=1+4, in doua moduri), 6, 8, 11, … Un fel de generalizare a mai celebrului sir a lui FIBONACCI
Apare in tripletul pitagoreic 11, 60, 61 (verificati dupa modelul anterior)
Numar decagonal centrat
12, un numar special
Numar abundent (vezi anterior suma divizorilor =16>12)
Criteriul de divizibilitate cu 12=4*3, 4 si 3 sunt relativ prime, deci numarul sa fie divizibil si cu 3 (suma cifrelor sa fie divizibil cu 3) si cu 4 (subnumarul format de ultimele 2 cifre sa fie divizibil cu 4)
13 numar prim
Numar din Sirul lui Fibonacci
13 este cel mai mic numar stelat (in afara trivialului 1)
Azi 16
Vizual = dus
Euler a demonstrat ca unica posibilitate de a permuta baza cu exponentul este
Este un numar BIPATRAT=patratul unui patrat
Este evident un PP si o putere a lui 2
Defineste baza de numeratie sexagesimala, importanta in programare la codul culorilor
2↑↑3 notatia lui Knuth (autorul celebrului manual de programare) pentru puteri iterate . Intrebati un copil care este cel mai mare numar scris cu 3 cifre (surprize)
Azi 17 ce ascunde?
E un numar prim si citit de la dreapta la stanga 71
E suma primelor 4 numere prime.
E suma de 2 patrate.
Ridicat la cub obtinem 4913, cu suma cifrelor… 17
Gauss a demonstrat cand avea doar 19 ani ca poligonul de mai sus se poate construi doar cu rigla si compasul
Este un numar sansa a lui Euler. Astfel consideram polinomul
care conduce la un numar prim pentru
La noi p=17, deci n=0, 1, ….15 si anume 16 situatii cand generam numere prime: 17, 1+1+17=19, 4+2+17=23 prim, samd,
Acest polinom este util la prezentarea INDUCTIEI matematice, cand o propozitie este de 16 ori adevarata fara a fi intotdeauna adevarata (polinomul n*n+n+17 genereaza numai numere prime pentru orice n natural este fals desi in primele 16 cazuri este adevarat)
Studiem numarul 18
Este un numar abundent, suma divizorilor sai (exceptand el insusi) fiind 21
18 = 9 + 9 si citit de la dreapta la stanga 81 = 9 * 9.
Cubul sau este 5832 cu suma cifrelor 18.
18 = 3² + 3². suma de doua patrate
(18, 24, 30), (18, 80, 82) tripletele pitagoreice in care este implicat
Este numar SEMIPERFECT, adica egal cu suma anumitor divizori (gasiti acesti divizori) si comparati cu un numar PERFECT (exemplu 28)
18 = 2*(1+8) tradus in cuvinte: dublul sumei cifrelor sale
Criteriul de divizibilitate cu 18: sa fie divizibil si cu 9 si cu 2, pentru ca 9 si 2 sunt relativ prime (coprime) si cunoastem criterii si pentru 9 si pentru 2.
E un numar PRACTIC, pentru ca toate numerele mai mici ca 18, deci 17, 16, 15, 14,… se pot scrie ca suma de divizori distincti ai lui 18, asadar 17=9+6+2, 16=9+6+1, 15=… continuati)
Diferenta primelor 4 cuburi perfecte
suma primelor doua puteri ale lui 2 de exponent patrat perfect (cum traduceti din cuvinte in expresie aritmetica)
Azi e randul lui 19
19 este numar prim. Care este geamanul sau (alt numar prim la distanta +-2), verisorul sau ( alt numar prim la distanta +-4 ), prietenul sexy ( alt numar prim la distanta +-6 )? Probabil le-ati gasit: 17, 23, respectiv 13.
Numar fericit. Verificati! Suma patratelor cifrelor, realizat iterativ pana ajungem la 1.
Numar hexagonal centrat , in imaginea de mai jos hexagonul cu verde si toate hexagoanele interioare lui
Suma primelor 3 puteri ale lui 2 de exponent patrat perfect (transformati vorbele in calcul numeric sa dea 19)
Un criteriu de divizibilitate : un numar de forma 10*a + b este divizibil cu 19 daca si numai daca a+2*b este divizibil cu 19. Verificati pentru 2019 unde a=201 si b=9. Desi nu merita retinut, clarifica utilitatea unui criteriu de divizibilitate, esenta clasei a 5-a.
Studiem proprietatile lui 20
Numar abundent, suma divizorilor=22
20 = 10 + 5 + 4 + 1. deci este un numar ?… (SEMIperfect)
20 = 22 + 42
A fost scris mai sus (traduceti in cuvinte)
(12, 16, 20), (15, 20, 25), (20, 21, 29), (20, 48, 52), (20, 99, 101). Toate sunt triplete Pitagora, cu 20 pe rol de cateta cu o exceptie la un triunghi asemenea cu (3, 4, 5)
02+ 22 + 42 = 20 suma primelor 3 patrate cu baza para
Bogatiile numarului 21
Numar semiprim
Numar defectiv, suma divizorilor (fara el insusi) : numai 11
O problema recreativa care a preocupat lumea matematicii: impartirea unui patrat in patrate necongruente. Aici un patrat cu latura 112 este divizat in 21 de patrate cu laturile 2, 6, 7, 8, 9, 11, …37, 42.
Suma primelor 6 numere naturale nenule (suma primelor 7 numere). Aplicati formula lui Gauss cu rezultatul n*(n+1)/2
Numar din sirul lui Fibonacci definit F(0)=1 F(1)=1 si recurenta F(n)=F(n-1)+F(n-2) (orice termen este egal cu suma celor doi precedenti)
(20, 21, 29), (21, 28, 35), (21, 72, 75), (21, 220, 221). cateva din tripletele pitagoreice
In sistemul binar 21 este 10101 care est palindrom (cititi de la dreapta la stanga)
Este numar congruent, adica reprezinta aria unui triunghi dreptunghic cu toate laturile lungimi rationale (practic, inmultind cu cmmmc al numitorilor obtinem numere pitagoreice)
Divizibilitatea sa se reduce la criteriul cu 3 (bine-cunoscut) si cu 7.
Nazdravaniile lui 22
Suma divizorilor, doar 14 DEFECTIV
Aplicati criteriul de divizibilitate si cu 2 si cu 11 (vezi Video Criteriul de divizibilitate cu 11)
Incercati sa calculati 1*2*3*…*22 = 22! (factorial). Avem un numar de exact 22 de cifre
22 este evident PALINDROM, patratul sau 484 de asemenea.
(22, 120, 122). Tripleta pitagoreica. Verificati cu (120 + 2) aplicand formula binom la patrat
Numar IDONEO, adica nu poate fi exprimat in forma ab+bc+ac, unde a, b si c sunt numere naturale distincte. Problema a fost studiata de Euler si Gauss.
Suma primelor 3 puteri in notatia repetitiva Knuth (scrieti si verificati)
In MATEMATICA RECREATIVA, este un numar SMITH, adica suma cifrelor sale este egala cu suma cifrelor factorilor dupa descompunere in factori primi. 22=2*11. 2+2 = 2+1+1.
Este randul lui 23
Un numar prim FACTORIAL 4!-1, in general numere prime de forma: n!-1 unde n!=1*2*3*…*n
Un numar prim SIGUR 23=2*11+1 unde si 11 este prim. In general numere prime de forma 2*p+1 cu p prim.
Suma a 3 numere prime consecutive (Gasiti-le!)
(23, 264, 265). Tripleta pitagoreica. Verificati cu (264+1) binom suma la patrat.
23! calculat are exact 23 de cifre .Program JS de calcul factorial
Numar privat de patrate adica nu e divizibil cu nici un patrat perfect (in afara de 1) Program JS de calcul NUMAR PRIVAT DE PATRATE
Numar WOODALL adica o putere a lui 2 inmultita cu exponentul si ales precedentul. Program JS de numere WOODALL
Verisorul sau prim este 19, are doi prieteni sexy: 17 si 29.
23 este cel mai mic numar prim care nu are un geaman prim
Suma produselor primelor 4 numere naturale prin factorialul lor: 0*0!+1*1!+2*2!+3*3!=23
In teorema chinezeasca a resturilor (vezi Articolul si programul JavaScript) prima solutie a problemei Sunzi este 23.
Suma primelor 23 (numere) prime este 874, care de asemenea este divizibil cu 23
Numar THABIT (matematician sec 9) sau numar 321 , adica 3*(putere a lui 2) -1. Program JavaScript numere THABIT
24 zi norocoasa?
Un numar abundent (inalt compus), suma divizorilor fiind 36>24
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. factorialul lui 4. Anagramati cuvantul MARE (din cele 24 solutii cate cuvinte au sens?)
(1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,3,4), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1).
(7, 24, 25), (10, 24, 26), (18, 24, 30), (24, 32, 40), (24, 45, 51), (24, 70, 74), (24, 143, 145) triplete pitagoreice si cel mai mic numar natural care face parte din 7 triplete
Suma a doua numere prime gemene: 11+13.
Numar HARSHAD, adica divizibil prin suma cifrelor sale (de 4 ori suma cifrelor sale).
Un numar demiperfect daca adunam toti divizorii proprii cu exceptia lui 4 si 8
12 + 22 + 32 + … + 242 este patrat perfect (702). Aceasta este problema ghiulelelor de tun
NUMARUL 25
25 este un PP=patrat perfect
NUMARUL 26
Numar semiprim (cum?)
NUMARUL 27
Cub perfect
1/37=0,(027) si 1/27=0,(037) Dovediti prin transformarea zecimalelor periodice simple in ordinare: 27/999 =…
Cel mai mic numar scris ca suma de 3 patrate in 2 moduri diferite:
27 = 32 + 32 + 32 = 52 + 12 + 12.
273 = 19683 Faceti suma cifrelor
Luati un numar de 3 cifre (fie 513) divizibil cu 27. Executati cele 3!=6 permutari (135, 351, …) .Toate acestea vor fi de asemenea divizibil cu 27. Divizibilitatea cu 9 a acestora este evidenta din criteriul cu 9.
In roman XXVII, folosind doar cele 5 caractere si operatii (inmultire, impartire, adunare) sa obtineti 27.
Defectiv, suma divizorilor=13<27.
Pitagora in (27, 120, 123 ) Verificati !