Peter M. Higgins
Divertirsi con la matematica
Curiosita e stranezze del mondo dei numeri
Vectori (pag. 91) (3 foto)
Un punct de contact intre geometria clasica si geometria analitica este atins cu folosirea vectorilor. Importanta acestui
concept in fizica matematica e imensa.
Aici ne vom limita a introduce ideea generala si a furniza un exemplu concret pentru a arata cat sunt de practici si pentru a explica proprietatile lor geometrice determinante.
Pentru scopul nostru consideram vectorul ca o instructiune pentru a parcurge o anumita distanta intr-o anumita directie. Astfel un vector v poate fi gandit ca o sageata a carei lungime e proportionala cu distanta ce trebuie parcursa si a carei extremitate indica directia de miscare. Putem insuma doi vectori u si v pentru a forma un nou vector w = u + v (figura 19). Sageata relativ la w e obtinuta desenand inainte u, transportand pe paralelism baza lui v in extremitatea lui u si formand in acest mod o sageata
Putem de altfel inmulti vectori si numere: 3v, spre exemplu, indica un vector cu aceeasi directie ca a lui v dar de lungime tripla; vectorul -2v e ca lungime dublul lui v si este orientat in directie opusa fata de v din cauza prezentei semnului minus (figura 20). Astfel, furnizam un sistem algebric minimal in care opereaza vectorii. Trebuie sa mai prezentam o proprietate pentru a completa tabloul. Daca insumam v si –v ne intoarcem in punctul de plecare, reprezentat de vectorul zero, indicat cu simbolul 0: e vorba de un vector de modul nul si spre deosebire de alti vectori nu are nici o directie asociata. Din moment ce am atribuit vectorului –v un sens precis, il putem utiliza pentru a defini scaderea intre vectori: u–v semnifica u+(-v), analog cazului cu numere obisnuite, unde spre exemplu 2-3 poate fi utilizat la prescurtarea scrierii 2+(-3).
Tot ce am zis pana acum e suficient pentru a arata una dintre principalele stiluri de argumentare utilizate cand se lucreaza cu vectori.
Ca exemplu demonstram urmatorul lucru cu adevarat surprinzator. Se considera un patrulater Q=ABCD cum este aratat in figura 21. Vom vedea ca patrulaterul EFGH format legand mijloacele laturilor lui Q este un paralelogram, adica EF este egal si paralel cu HG si FG este egal si paralel cu EH.
Pentru a incepe, demonstram o asemenea afirmatie pentru o pereche de laturi, spre exemplu EF si HG si observam ca este echivalent a afirma egalitatea vectorilor EF si HG. Se formeaza doua sume vectoriale ambele egale cu AC:
AE + EF + FC = AH + HG + GC. (2)
Pare promitator, ecuatia de mai sus contine in membrul stang EF si in membrul drept HG. Totusi mai sunt patru vectori pe care trebuie sa-i eliminam. Mai mult, trebuie sa utilizam si faptul ca punctele E, F, G si H sunt mijloacele laturilor patrulaterului Q.
Avem o alta ecuatie vectoriala:
AD + DC = AB + BC
Din moment ce E este mijlocul lui AD, putem scrie AD = 2AE; putem rescrie in maniera analoaga, ceilalti termeni din ecuatia precedenta, obtinand:
2AE + 2FC =2AH + 2GC.
Injumatatind lungimile tuturor vectorilor se obtine:
AE + FC = AH + GC. (4)
Sa reexaminam ecuatia (2). Din moment ce vectorii pot fi insumati in orice ordine, ecuatia poate fi scrisa astfel:
EF + (AE + FC) = HG + (AH + GC). (5)
In virtutea ecuatiei (4) suma vectorilor din paranteze din ecuatia (5) sunt egale: daca le scadem din ambele parti ale ecuatiei (5) obtinem exact ceea ce ne dorim:
EF = HG.
In acelasi mod putem verifica ca FG = EH, demonstrand astfel ca prin unirea mijloacelor unui patrulater se obtine un paralelogram.
Un alt exemplu de acest gen este urmatorul: diagonalele unui paralelogram se intersecteaza in mijloacele lor.